フラクタルとは

フラクタルの由来

フラクタル(fractal)は、1975年にマンデルブロ(Mandelbrot)によって考えられた造語です。語源はラテン語のfracutasで、不規則に壊れてバラバラとなった状態や断片という意味です。

フラクタルの定義

フラクタルとは、ハウスドルフ次元が位相次元より大きい集合のことであり、そのときの次元をフラクタル次元といいます。すなわち、ハウスドルフ次元を計算し、その次元が位相次元より大きければ、それがフラクタルです。一般的に、フラクタル次元は、整数値にはなりません。しかし、例外は存在し、フラクタル次元が整数値であっても、フラクタルな特徴を持つ集合は存在します。

またハウスドルフ次元を正確に計算することは非常に困難であるために、一般的には、その近似値を求めます。この近似値を求める方法にはいくつかあります。

フラクタルの特徴

• いたるところで微分不可能である
• 自己相似である

自然界のフラクタル

身の回りにもフラクタルは、存在しています。例えば、自然界にもこのような形を目にすることが多くあります。人間が作成した物（目に見える物体）は基本的にはフラクタルにはなりません。では、どのようなものがフラクタルなのでしょうか（現実世界では、いつしか原子やニュートリノに分解されてしまうので、正確には永遠に自己相似ではありませんが）。

• 雲
  
• 海岸線（リアス式海岸などの複雑に入り組んだ海岸線）
  
• 木
  
• 葉
  

ですから、フラクタル図形（再帰、自己相似図形）から、これらの自然の造形美を作成することも可能です。これらは多くのフラクタルの書籍に掲載されていると思います。

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