微分の基礎

「微分とは」、で解説すると小難しくなるので（私には解説できないので）、簡単に説明します。
ここでいう曲線は直線を含んでいます。 ある曲線を微分すると、その曲線のある点（ほとんどの座標）に対する接線の傾きを求めることになります。

では、傾きとは、どのようにして求めたでしょうか。

例１： の傾きを求めましょう。図１を参考にしてください。

傾きは異なる２点の座標から求めることが可能です。例えば、x=1のときy=2です。同様にx=2のときy=4です。ですから、傾きを求める式に代入すると、 と、なります。 答え、 2 ~~~~~~~~~~ 実際に微分をするときも、この２つの座標から求める考え方が重要になります。あくまでも、異なる２つの座標から求めることに注意してください。なぜなら、ある座標だけでは、どの方向に伸びる直線なのか分からないですし、分数（割り算）は、分母が0になることを許さないからです。

図１ 直線の傾き

では、 を微分して、この直線に対する接線の傾きを求めてみましょう。ただ、この場合は、計算するまでもありません。なぜなら、の接線はにほかならないからです。すなわち、直線の場合は、その直線自身が接線になるわけです。至極同然ですね。ですから、傾きは2になります。直線であればどの座標においても傾きが一定であることを意味しています。

次に曲線の場合はどうでしょうか。

図２を見てください。曲線（関数１）のという座標における接線（関数２）を求めようとしています。 しかし、例１で説明したように、座標１つでは傾きを求めることができません。そこで、という座標を取得します。すると要件を満たす２点を取得できたので、その点を結ぶ直線が(x1,y1)の接線（関数3）となるわけです。しかし、本来求めたい接線とは、大幅に違っているような気がしますね。では、どうすればよいのでしょうか。 そうです！！をに近づければよいのです。すなわち と、記述することが可能です。limというのはlimitの略で、意味合いは、をに極力近づけるという意味になります。あくまでも近づけるだけです。極限まで近づけるとどのようなメリットがあるのでしょうか。それは、「曲線であっても、その部分をどんどん拡大することによって、直線として捉えることが可能である」ということを享受できるのです。ハッキリ言って胡散臭いかもしれませんが、事実として捉えてください（「曲線の細部は直線」を参照）。また、座標を近づけていくということは、その座標には重ならないことも意味しています（「隣り合う点は存在しない」を参照）。 よって、この式より求めることが可能です。この式を極限式といいます。

図２ 曲線の傾き

では、実際に計算して見ましょう。
例２：の接線の傾きを求めてください。

答え、2x
~~~~~~~~~~
極限値を代入することによって分母が0にならなくなったとき、にを代入しています。実際には近づけるのではなく等しいとしています。どうでしょうか。傾きを求める条件に違反しました。なぜなら、同一の点からは傾きを求めることが不可能なはずだからです。それにもかかわらず、代入していますね。しかし、これは代入ではありません。あくまでも隣り合いそうな点を代入しただけなことに注意してください。この辺は、十分定義（議論）し尽くされた？、非常に好都合な考え方です。これは、解析学（数学）の礎となる考えです。

では、先ほどやらなかった、の場合はどうでしょうか。

答え、 2
~~~~~~~~~~
このときは、傾きは一定なので、未知数が消えていますね。

しかし、上記の式では一般的な式ではありません。なぜなら、やなど不確定要素が多いからです。そこで、分かりやすい形に変換します。 曲線を)おき、接線を求める座標を(x,y)として、-をhとするとき、 と、記述できます。 実際に計算するときは、に式を当てはめ、hを約分して削除します。そのことにより、hを限りなく0にして（実際には0を代入する）、傾きを求めることが可能になります。

図３ 曲線の傾き

では、 の接線の傾きを求めましょう。
例４： 上記の式を使用しての接線の傾きを求めてください。

・・・・・・・x^2を代入した
・・因数分解した
・・・・・・・・・・整理した
・・・・・・・・・・・hで約分した
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・hに0を代入した

いかがでしたでしょうか。これが微分の基本です。

戻る