コッホ曲線とは

コッホ曲線は、Kochさんが発見した直線を規則的に組替えていく図です。

コッホ曲線の概要

コッホ曲線に終わりはありません。なぜなら、単に直線を三等分し、その等分した点で正三角形（既存の２点間の直線は書かない）を書くだけだからです。それを永遠に続けます。すなわちこの考え方がコッホ曲線なのです。

コッホ曲線の成長

1. 直線を記述します（レベル０）
   
   
2. 直線を三等分します。
3. その分割した２点で正三角形を書きます。
4. 分割点の直線を消します。（レベル１）
   
5. 2,3,4を繰返します。（レベル２）
   

これを無限に繰返すだけです。

アルゴリズム

1. 直線aを長さl で書きます 。
2. 直線aに対して角度60度で直線bを長さl で書きます。
3. 直線bに対して角度120度で直線cを長さl で書きます。
4. 直線cに対して角度60度で直線dを長さl で書きます。
   
   

プログラミング化への手順

計算式の表記

x1, y1からα角度の長さｌの座標(x2,y2)を求めます。


x2 = x1+ l ×cos(α)
y2 = y1+ l ×sin(α)

プログラミングのアルゴリズム

再帰の詳細を説明します。
再帰とは自分自身を繰返すことです。ここでは、上記アルゴリズムを繰返すことを指しています。ここで、このアルゴリズムを「コッホ再帰関数」とします。

既存の角度で線を書きます。
既存の角度＋６０度で線を書きます。
既存の角度＋１２０度で線を書きます。
既存の角度＋６０度で線を書きます。

これをプログラムにすると、

指定レベルになった場合、 指定された角度で描画 まだレベルになっていないとき、 既存の角度でレベルを１つ上げて、 「コッホ再帰関数」を呼ぶ。 既存の角度＋６０度でレベルを１つ上げて、 「コッホ再帰関数」を呼ぶ。 既存の角度＋１２０度で レベルを１つ上げて、「コッホ再帰関数」を呼ぶ。 既存の角度＋６０度でレベルを１つ上げて、 「コッホ再帰関数」を呼ぶ。

この図は、レベル２の場合です。 Level1の段階では描画しません。Ｌｅｖｅｌ３になるとさらに、それぞれの角度の下に４つのコッホ曲線を書く集まりがくっつきます。そして、Level2の角度を足した角度で描画されます。


実際のSmalltalkでのプログラミングの場合は、レベルを減らして０の場合に描画します。また、座標軸が左上を原点としているので、２番目と４番目の角度を-６０度で計算しています。